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Download PDF by Jakob Stix: Algebraische Zahlentheorie [Lecture notes]

By Jakob Stix

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Dann ist auch z = z − nx ∈ Γ \ Z · x, aber nach Konstruktion 0 < z < x. Das ist ein Widerspruch zur Konstruktion von x. Folglich gilt schon Γ = Z · x wie behauptet. 5. Sei V ein endlich dimensionaler R-Vektorraum und Γ ⊆ V eine Untergruppe. Dann sind äquivalent: (a) Γ ist eine Gitter. (b) Γ ist als abelsche Gruppe von über R linear unabhängigen Vektoren erzeugt. (c) Die natürliche Abbildung R ⊗Z Γ → V ist injektiv und Γ ist eine endliche erzeugte abelsche Gruppe. 42 JAKOB STIX Beweis. (b) =⇒ (c): Sei γ1 , .

Daher gilt P − N = (−1)s (P − N ) und ∆F = (P − N )2 = (−1)s P − N · (P − N ) = (−1)s |P − N |2 46 JAKOB STIX mit demselben Vorzeichen wie (−1)s . 2. Die lokale Beschreibung eines Zahlkörpers bei unendlichen Stellen. 1) C τ :F →C a ⊗ z → jC (a ⊗ z) = (τ (a)z)τ ist ein C-Algebrenisomorphismus3. In der Tat haben beide Seiten dimC = n und die lineare Unabhängigkeit der Charaktere zeigt die Injektivität. 1) einen Vergleichsisomorphismus zwischen der 0-ten de Rham Kohomologie von Spec(F ) mit der 0-ten (Betti)-Singulären-Kohomologie von Spec(F ) dar.

B) =⇒ (c): Sei . eine Norm auf V Wir betrachten die Bilder der Mengen Ur = {x ∈ V ; x < r} unter π : V → V /Γ. Die Bilder π(Ur ) in V /Γ sind offen und wegen r>0 Ur = V ist π(Ur ) = V /Γ. r>0 Weil V /Γ kompakt ist, reichen endlich viele dieser Bilder. Weil die Bilder aufsteigend ineinander enthalten sind, reicht schon eins, sagen wir UR . Sei M = Abschluß von UR . Dann ist M beschränkt und γ∈Γ γ + M = V . (c) =⇒ (a): Angenommen Γ ist nicht vollständig. Dann ist algebraisch Γ ⊆ V isomorph zu ⊆ Rn als Untergruppe mit ganzzahligen Koordinaten und Einträgen 0 für die Koordinaten xr+1 , .

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Algebraische Zahlentheorie [Lecture notes] by Jakob Stix


by Kenneth
4.2

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